【企業違約風險】Altman Z-score Model ＋ Merton Model，評估企業財務危機的量化數學模型，一文了解背後原理、數學公式與實際例子
目錄（8 節）
近期市場對於AI 企業之間的循環融資(Circular Financing) 再次引起擔憂，導致AI板塊相關股票價格大幅回調。在投資前評估企業會否面臨財務危機或違約風險至關重要。過去學術界與金融機構開發了多種信用風險預測模型，其中最具代表性的莫過於基於市場價格的莫頓模型（Merton Model），以及基於會計財報數據的奧特曼 Z-score 模型（Altman Z-score Model）。
本文將以深入淺出的方式為大家拆解這兩個經典模型的底層邏輯、數學原理，並透過具體例子帶領讀者掌握過中精粹。
Altman Z-score Model — 基於財務報表的多維度評分
Altman Z-score Model 由愛德華·奧特曼（Edward Altman）於 1968 年開創，Z-score 模型直接從企業的資產負債表與利潤表中挑選出最具預測力的 5 個財務比率，利用多元區別分析建立迴歸方程式，Z-score 數學公式如下：
𝑍 = 1.2𝑋1 + 1.4𝑋2 + 3.3𝑋3 + 0.6𝑋4 + 1.0𝑋5 其中 5 個核心財務變量分別為：
- 𝑋1 = 營運資金 (Working Capital)/總資產 (Total Assets) —— 用於衡量企業短期償債能力與流動資產規模；
- 𝑋2 = 留存收益 (Retained Earnings)/ 總資產 (Total Assets) —— 用於反映企業累積的獲利能力與歷年經營成果；
- 𝑋3 = 稅前利潤 (EBIT) / 總資產 (Total Assets) —— 用於衡量資產的實際生產獲利效率（不受稅負與融資結構影響）；
- 𝑋4 = 股權市值 (Market Value of Equity) / 總負債帳面值 (Total Liabilities) —— 用於股東權益對債務的保障程度；
- 𝑋5 = 銷售收入 (Sales) /總資產 (Total Assets) —— 資產周轉率，用於衡量企業運用總資產創造營收的能力。
Z-score區間
- Z < 1.81 —— 處於危險區（Red Zone），極有可能發生財務困境或違約。
- 1.81 < Z < 2.99 —— 處於灰色區（Grey Zone），情況不明朗。
- Z > 2.99 —— 處於安全區（Green Zone），違約機率極低。
Merton Model — 以「期權思維」看企業資產與負債
Merton Model 由羅伯特·莫頓（Robert Merton）於 1974 年提出，羅伯特·莫頓亦是著名的期權定價模式 Black-Scholes-Merton Model 的奠基者之一，莫頓利用 BSM Model 數學公式轉化爲評估企業結構性信用風險模型（Structural Model）。
根據會計原理，一間公司的資產(Assets, A) 等於股東權益(Equity, E) 加上債務(Debts, D) :
A = E + DMerton Model 精妙之處在於將公司的股權（E）視為一項以公司資產（Assets）為標的的歐式看漲期權（Call Option），而公司的債務(Debts, D) 簡化為在到期日 T 支付固定面值 K 的零息債券。
E = A - D 當到期日時，假如公司總資產價值 A 大於總債務 D，股東權益爲正數，股東會選擇清償債務並保留公司；但假如總資產價值低於債務，公司將無力償還債務，因此宣告違約，此時股東選擇放棄公司，資產歸債權人所有，股權價值為零。
數學公式
根據 Black-Scholes-Merton Model 期權定價模型，公司股權價值與資產價值的關係可表示為：
𝐸 = 𝑉𝑁(𝑑1) − 𝐾𝑒−𝑟𝑇𝑁(𝑑2) 其中：
d1=σvΔTlnKVt+(r+2σv2)ΔT
d2=d1−σvΔt- E：公司股權的市場價值
- V：公司總資產的市場價值（通常無法直接觀察，需透過方程式反推）
- K：公司債務的總面值（違約點 DPT）
- r：無風險利率
- 𝜎𝑉：公司總資產價值的波動率
- T：債務期限（通常設為 1 年）
- N()：標準常態分佈的累積分佈函數
違約距離（Distance to Default, DD）及違約概率 (Probability of Default, PD)
DD=logA+(μA−σ2A/2)T−log(L)σA√TPD=1−N(DD)Merton Model 最終計算結果會產出一個被稱爲違約距離(DD)的數值以量化企業的違約風險，違約距離(DD)是衡量預期資產價值與違約門檻（即債務界線）之間相差多少個標準差。
DD 值越高，代表公司資產超出債務的安全邊際越大，違約機率越低；反之，DD 值越低，違約風險越高。
由違約距離的常態累積分佈函數（N）可以再進一步推導出違約概率 (Probability of Default, PD)
科技巨頭的違約風險
我們透過自家研發的AI 股票分析智能體 Invest101 Copilot 搜集兩個量化模型所需的數據並計算，以評估美國納斯達克指數(Nasdaq) 市值最高的8間科技巨頭的違約風險，數據結果如下：
| 公司 | 總資產 | 總負債 | 流動資產 | 流動負債 | 保留盈餘 | TTM 營收 | EBIT* | 市值 E | DPT | σE |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| NVDA | 320.3 | 91.3 | 197.4 | 43.0 | 219.2 | 303.0 | 200.7 | 5,124 | 17.2 | 37.8% |
| AAPL | 383.3 | 275.8 | 149.8 | 149.3 | 11.3 | 466.8 | 152.3 | 5,087 | 48.7 | 24.7% |
| MSFT | 758.4 | 316.0 | 207.7 | 168.8 | 328.3 | 331.8 | 149.7 | 3,870 | 24.8 | 33.0% |
| MU | 195.9 | 57.5 | 91.1 | 27.5 | 131.9 | 133.2 | 107.4 | 968 | 2.8 | 81.5% |
| AMZN | 1,095.7 | 544.1 | 249.3 | 241.3 | 343.4 | 775.7 | 93.7 | 2,700 | 73.0 | 34.8% |
| AMD | 84.5 | 17.2 | 31.5 | 12.1 | 5.9 | 41.3 | 6.5 | 829 | 2.1 | 68.4% |
| META | 450.0 | 188.7 | 125.5 | 56.4 | 157.8 | 228.3 | 86.9 | 1,653 | 41.8 | 42.7% |
| GOOGL | 922.0 | 281.5 | 343.5 | 126.1 | 493.4 | 445.9 | 147.6 | 3,965 | 51.1 | 31.7% |
Altman Z-score
| 公司 | X1 | X2 | X3 | X4 | X5 | Z | 區間 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| NVDA | 0.482 | 0.684 | 0.627 | 56.1 | 0.946 | 38.2 | 綠區 |
| AMD | 0.230 | 0.070 | 0.077 | 48.1 | 0.489 | 30.0 | 綠區 |
| MU | 0.325 | 0.673 | 0.549 | 16.8 | 0.680 | 13.9 | 綠區 |
| AAPL | 0.001 | 0.030 | 0.397 | 18.4 | 1.218 | 13.6 | 綠區 |
| GOOGL | 0.236 | 0.535 | 0.160 | 14.1 | 0.484 | 10.5 | 綠區 |
| MSFT | 0.051 | 0.433 | 0.197 | 12.2 | 0.438 | 9.1 | 綠區 |
| META | 0.154 | 0.351 | 0.193 | 8.8 | 0.507 | 7.1 | 綠區 |
| AMZN | 0.007 | 0.313 | 0.086 | 5.0 | 0.708 | 4.4 | 綠區 |
示範：AMZN（組內最低分） — 1.2(0.007) + 1.4(0.313) + 3.3(0.086) + 0.6(5.0) + 1.0(0.708) = 0.009 + 0.439 + 0.282 + 2.978 + 0.708 = 4.42。8 家全部 > 2.99，處於安全綠區；排序主要由 X4（市值/總負債）驅動。
Merton Model 違約概率
| 公司 | E | DPT | V | σV | DD | PD ≈ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| AAPL | 5,087 | 48.7 | 5,136 | 24.4% | 19.1 | ~8×10⁻⁸²（≈0） |
| MSFT | 3,870 | 24.8 | 3,895 | 32.8% | 15.4 | ~1×10⁻⁵³（≈0） |
| NVDA | 5,124 | 17.2 | 5,141 | 37.7% | 15.1 | ~1×10⁻⁵¹（≈0） |
| GOOGL | 3,965 | 51.1 | 4,016 | 31.2% | 14.0 | ~1×10⁻⁴⁴（≈0） |
| AMZN | 2,700 | 73.0 | 2,773 | 33.9% | 10.7 | ~4×10⁻²⁷（≈0） |
| META | 1,653 | 41.8 | 1,695 | 41.6% | 8.8 | ~6×10⁻¹⁹（≈0） |
| AMD | 829 | 2.1 | 831 | 68.2% | 8.5 | ~7×10⁻¹⁸（≈0） |
| MU | 968 | 2.8 | 971 | 81.2% | 6.8 | ~4×10⁻¹²（≈0） |
關鍵洞察💡
8 家公司 Z-score 全部落在綠區（4.4–38.2），一年期違約概率全部實質為零（10⁻¹² 至 10⁻⁸¹ 量級）。對市值數千億、負債相對極小的巨型科技股，信用風險在統計上無法與零區分，投資風險主要來自估值與股價波動，而非償債能力。
實證研究：哪個模型在實際市場中表現更好？
根據學術研究*，學者選取了 200 家上市公司進行了長達 10 年（2012–2021 年）的實證檢驗，研究結果得出以下結論：
- 整體預測表現：在透過 ROC 曲線與 AUC（曲線下面積）評估模型效能時，Altman Z-score 模型（AUC 約 0.68）的表現略優於 Merton 模型（AUC 約 0.59）。
- 會計模型 vs. 市場模型：在資本市場成熟度較低、股價波動較大或存在獨特制度的環境下，傳統的會計財報指標（Z-score）往往更能捕捉企業真實的營運惡化軌跡。企業違約通常是長期經營不善的累積，這會優先反映在會計報表中。
- 時間前瞻性：兩者的預測能力皆會隨著時間拉長而遞減（從 1 年期到 3 年期預測力逐漸下滑），且在如疫情等宏觀衝擊期間，模型均能有效發出違約風險升高的訊號。
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